Тема 1.4. Закони руху небесних тіл

1.Закони Кеплера та їх зв’язок із законами Ньютона

  Заслуга відкриття законів руху планет належить видатному німецькому вченому Йоганну Кеплеру (1571 —1630). На початку XVII ст. Кеплер, вивчаючи рух Марса навколо Сонця, встановив три закони руху планет.

  Перший закон Кеплера. Кожна планета обертається по еліпсу, в одному з фокусів якого міститься Сонце (мал. 1).

  Еліпсом (див. мал. 1) називається плоска замкнута крива, властивість якої полягає в тому, що сума відстаней від кожної її точки до двох точок, які називаються фокусами, залишається сталою. Ця сума відстаней дорівнює довжині великої осі DА еліпса. Точка О — центр еліпса, К і S — фокуси. Сонце знахо­диться в даному разі у фокусі S. DО = ОА — а — велика піввісь еліпса. Вона є середньою відстанню планети від Сонця:

  Найближча до Сонця точка орбіти А називається пер и-гелієм, а найдальша від нього точка D — а ф е л і є м.

Ступінь витягнутості еліпса характеризується його ексцент­риситетом е. Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані фокуса від центра (0K = 0S) до довжини великої півосі а.

Коли фокуси й центр збігаються , еліпс перетворюється в коло.

Орбіти планет — еліпси, які мало відрізняються від кіл; їх­ні ексцентриситети малі. Наприклад, ексцентриситет орбіти Зем­лі е = 0,017.

Другий закон Кеплера (закон площ). Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі, тобто площі SАН і SСD рівні (див. мал. 3), якщо дуги АН і СD планета опи­сує за однакові проміжки часу. Але довжини цих дуг, що обмежують рівні площі, різні: АН > СD.

  Отже, лінійна швидкість руху планети неоднакова в різних точках її орбіти. Швидкість планети під час її руху по орбі­ті тим більша, чим ближче вона До Сонця. У перигелії швид­кість планети найбільша, в афе­лії найменша. Таким чином, другий закон Кеплера кількісно визначає зміну швидкості руху планети по еліпсу.

Третій закон Кеплера. Квад­рати зоряних періодів обертан­ня планет відносяться, як куби великих півосей їхніх орбіт. Як­що велику піввісь орбіти і зо­ряний період обертання однієї планети позначити через a1, T1, а другої планети — через а2, Т2, то формула третього закону ма­тиме такий вигляд:

  Цей закон Кеплера пов'язує середні відстані планет від Сон­ця з їхніми зоряними періодами і дає змогу встановити відносні відстані планет від Сонця, оскільки зоряні періоди планет уже були обчислені за синодич­ними періодами, інакше кажу­чи, дає змогу подати великі півосі всіх планетних орбіт в одиницях великої півосі земної орбіти.

Велику піввісь земної орбіти взято за астрономічну одиницю відстаней (аÅ = 1 а. о.).

її значення в кілометрах визначили пізніше, лише у XVIII ст.

Протягом багатьох століть у природознавстві панувала аристотелівська точка зору на природу тяжіння: «Земля і Всесвіт мають загальний центр; важке тіло рухається до центра Землі, і відбувається це внаслідок того, що центр Землі збігається з центром Вселеної».

У «Новій астрономії» на думку Кеплера, тяжіння — це «взаємне тілесне тяжіння подібних (родинних) тіл до єдності чи сполучення». У примітках до свого більш пізню твору про місячну астрономію Кеплер пише: «Гравітацію я визначаю як силу, подібну до магнетизму — взаємному притяганню. Сила притягання тим більше, чим обидва тіла ближче одне до іншого . ». Цим самим Кеплер істотно просувається в напрямку, що пізніше приводить Ньютона до відкриття його знаменитого закону всесвітнього тяжіння. Тут же Кеплер додає: «Причини океанських припливів і відливів бачимо в тім, що тіла Сонця і Місяця притягають води океану за допомогою деяких сил, подібних до магнетизму». Намагаючись установити кількісну залежність між силою притягання і відстанню, Кеплер припустив, що сила притягання прямо пропорційна ваги, але назад пропорційна відстані.

Увага Кеплера було притягнута і до такої властивості матеріальних тіл, як інерція. Сам термін «інерція» був введений у саме Кеплером. Він позначив їм явище опору руху спочиваючих тел. Інерція руху, принаймні до 1620 р., їм не розглядається. Важливо відзначити, що поняття інерції було поширено Кеплером (у його розумінні) на неземні тіла і явища. У «Новій астрономії» він пише: «Планетні кулі повинні бути по природі матеріальні ., вони мають схильність до спокою, чи відсутності руху».

Для пояснення ексцентричності орбіт Кеплер припустив, що планети являють собою «величезні круглі магніти», магнітні осі яких зберігають постійний напрямок, подібно осі вовчка. Отже, планети будуть періодично те притягатися ближче до Сонця, то відштовхуватися від нього, відповідно до розташування їхніх магнітних полюсів. Далі Кеплер поділяє всю орбіту Землі на 360 частин, відзначивши на орбіті положення Землі З1, З2, ., З360 у відповідні моменти часу t1, t2, ., t360. Кеплер зіставляв суму відстаней між Землею і Сонцем у моменти часу ti і tk (і в усі проміжні моменти) із проміжком часу, необхідним планеті, щоб перейти з положення Зi, Зк. При додаванні виявилося, що ця сума відрізків не залежить від обраної ділянки орбіти, а тільки від величини проміжку часу. Згадавши потім, як Архімед для перебування площі кругу розкладав його на велике число трикутників, Кеплер заміняє суму відстаней площею сектора, описаного радіусом-вектором крапки орбіти, вважаючи ці величини пропорційними, хоча і не говорячи про цьому прямо. Необхідно помітити, що при висновку закону площ (наприкінці 1601 — початку 1602 р.) Кеплер зустрівся і по-своєму справився з задачею, що має пряме відношення до того розділу математики, бурхливе розвиток якого незабаром ознаменувало настання нового етапу в історії математики, зв'язаного з численням нескінченно малих. Його спроба нескінченного підсумовування власне кажучи була першим кроком у чисельному інтегруванні. Другий закон визначав зміну швидкості руху планет по їхній орбіті, однак сама форма орбіти залишалася ще невідомої.

Тепер Кеплеру залишалося дати математичний опис тієї кривої, по якій рухається планета, і ця задача виявилася найбільш складною і трудомісткою. Довелося перевіряти одну за іншою багато гіпотез. При цьому, щоправда, у розпорядженні Кеплера вже був могутній засіб дослідження — його закон площ. Це давало можливість, задаючи гіпотезу про криву тієї чи іншої форми, обчислювати положення, що повинний був би займати Марса на цій передбачуваній орбіті в різні моменти часу, і порівнювати їх з положеннями, що спостерігаються. «Правда лежить між навкруги й овалом, начебто орбіта Марса є точний еліпс». Але, помістивши Сонце в його центр, Кеплер знову не прийшов до результату, що погодиться з даними спостережень.

На початку 1605 р. Кеплеру вдалося знайти щирий зв'язок між відстанню Сонце — Марс і так називаною ексцентричною аномалією. Він знайшов тоді рівняння, що зараз називається його ім'ям і широко використовується в теоретичній астрономії. Це рівняння має вид:

 константи. Це рівняння є одним з перших трансцендентних рівнянь, що знайшли практичне застосування. Нарешті Кеплер помітив, що бічне сплющення орбіти складає 0,00429 частки радіуса, що точно дорівнює половині квадрата визначеного їм раніше ексцентриситету (0,09262 =0,00857). І тоді Кеплер припустив, що орбіта Марса — еліпс, але Сонце розташовується не в його центрі, а в одному з фокусів. Перевірка гіпотези еліпса швидко привела його до успішного завершення роботи, що ознаменовались висновком першого закону: Марс рухається по еліпсі, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Кеплер не сумнівався, що по цьому ж законі рухаються й інші планети, що незабаром їм було перевірено. Він був упевнений також, що й орбіта Землі — еліпс, але через малий ексцентриситет (e= 0,01673) і недостатньої точності спостережень цей еліпс тоді ще неможливо було відрізнити від окружності. Відкриті Кеплером закони підготували ґрунт Ньютонові для відкриття закону всесвітнього тяжіння.

 2.Космічні швидкості на поверхнях небесних тіл та у просторі.

  Перша космічна швидкість

  Перша космічна швидкість (кругова швидкість) - швидкість, яку необхідно надати об'єкту без двигуна, нехтуючи опором атмосфери і обертанням планети, щоб вивести його на кругову орбіту з радіусом, рівним радіусу планети. Іншими словами, перша космічна швидкість - це мінімальна швидкість, при якій тіло, що рухається горизонтально над поверхнею планети, не впаде на неї, а буде рухатися по круговій орбіті.

  У інерційній системі відліку (щодо далеких зірок) на об'єкт, що рухається по круговій орбіті навколо Землі буде діяти тільки одна сила - сила тяжіння Землі. При цьому рух об'єкта не буде ні рівномірним, ані рівноприскореним. Відбувається це тому, що швидкість та прискорення (величини не скалярні, а векторні) в даному випадку не задовольняють умови рівномірності / рівноприскореного руху - тобто руху з постійною (за величиною і напрямком) швидкістю / прискоренням. Дійсно - вектор швидкості буде постійно спрямований по дотичній до поверхні Землі, а вектор прискорення - перпендикулярно йому до центру Землі, при цьому в міру руху по орбіті ці вектора постійно змінюватимуть свій напрямок. Тому в інерціальній системі звіту такий рух часто називають "рух по круговій орбіті з постійною за модулем швидкістю"

Часто для зручності обчислення першої космічної швидкості переходять до розгляду цього руху в неінерційній системі звіту - відносно Землі. У цьому випадку об'єкт на орбіті буде знаходитися в стані спокою, так як на нього будуть діяти вже дві сили: відцентрова сила і сила тяжіння. Відповідно, для обчислення першої космічної швидкості необхідно розглянути рівність цих сил.

  Космічні швидкості можуть бути обчислені і для поверхні інших космічних тіл. Наприклад на Місяці v1 = 1,680 км / с, v2 = 2,375 км / с

  Друга космічна швидкість

  Друга космічна швидкість (параболічна швидкість, швидкість звільнення, швидкість втечі) - найменша швидкість, яку необхідно надати об'єкту (наприклад, космічному апарату), маса якого пренебрежимо мала в порівнянні з масою небесного тіла (наприклад, планети), для подолання гравітаційного тяжіння цього небесного тіла. Передбачається, що після придбання тілом цієї швидкості воно не отримує негравітаційного прискорення (двигун вимкнений, атмосфера відсутня).

  Друга космічна швидкість визначається радіусом і масою небесного тіла, тому вона своя для кожного небесного тіла (для кожної планети) і є його характеристикою. Для Землі друга космічна швидкість дорівнює 11,2 км / с. Тіло, що має близько Землі таку швидкість, залишає околиці Землі і стає супутником Сонця. Для Сонця друга космічна швидкість складає 617,7 км 

  Параболічної друга космічна швидкість називається тому, що тіла, що мають другу космічну швидкість, рухаються по параболі щодо планети.

Для отримання формули другої космічної швидкості зручно звернути завдання - запитати, яку швидкість отримає тіло на поверхні планети, якщо буде падати на неї з нескінченності. Очевидно, що це саме та швидкість, яку треба надати тілу на поверхні планети, щоб вивести його за межі її гравітаційного впливу.

  Між першою і другою космічними швидкостями існує просте співвідношення:

Квадрат швидкості втечі дорівнює подвоєному ньютонівському потенціалу в даній точці (наприклад, на поверхні планети):

Третя космічна швидкість

  Третьою космічною швидкістю називають мінімальну швидкість, яку потрібно набрати тілу (наприклад, космічному апарату) поблизу поверхні Землі, щоб воно могло, подолавши гравітаційне тяжіння Землі і Сонця, назавжди покинути Сонячну систему.

Третя космічна швидкість дорівнює приблизно 16,6 кілометра в секунду (при запуску на висоті 200 кілометрів над земною поверхнею), при цьому напрям швидкості тіла відносно Землі повинен співпадати з напрямом швидкості орбітального руху Землі.

Нагадаємо що друга космічна швидкість це мінімальна швидкість, яку потрібно набрати фізичному тілу (наприклад, космічному апарату), щоб воно могло подолати гравітаційне тяжіння небесного об'єкта (наприклад, планети або зірки) і назавжди покинути сферу його гравітаційної дії, називають параболічної швидкістю (тіло, що має таку швидкість, рухається по параболічної траєкторії).

  Параболічна швидкість зменшується зі збільшенням відстані від небесного об'єкта. Параболічну швидкість біля поверхні небесного об'єкта називають другою космічною швидкістю. Для Землі друга космічна швидкість дорівнює 11,18 кілометра в секунду.

Параболічна швидкість на висоті 300 кілометрів над поверхнею Землі (рівнем моря) дорівнює 10,93 кілометра на секунду, на висоті 1000 кілометрів - 6,98 кілометра в секунду.

Для Сонця друга космічна швидкість дорівнює 617,7 кілометра в секунду, а параболічна швидкість на відстані 1 астрономічної одиниці від нашого світила (середній радіус земної орбіти) - 42,1 кілометра в секунду. Для найбільшої планети Сонячної системи (Юпітера) друга космічна швидкість дорівнює 59,5 кілометра в секунду, для найменшої (Меркурія) - 4,2 кілометра в секунду.

 3.Сонячні та місячні затемнення, частота і умови видимості

Сонячні та місячні затемнення  явища природи, знайомі людині з давніх часів. Вони бувають порівняно часто, але побачити їх можна не з будь-якої точки планети і тому багатьом здаються рідкісними.

Сонячні затемнення проходять в повний місць, коли Місяць рухаючись навколо Землі, опиняється між Сонцем та Землею і повністю або частково затуляє його. Місяць розташований ближче до Землі ніж Сонце майже в 400 разів і втом же час Сонце більше його майже в 400 разів. Тому видимі розміри Сонця та Місяця майже однакові і Місяць може закрити собою Сонце.

  Шлях місячної тіні по земній поверхні називається полосою повного сонячного затемнення. Ширина цієї полоси й час повного сонячного затемнення залежать від взаємних відстаней Сонце, Землі та Місяця в момент затемнення.

Найбільша можлива ширина полоси повного сонячного затемнення не перевищує 270 км., найбільший час повної фази затемнення не перевищує 7 хв. 31 сек. , але частіше це дві , три хвилини.

Сонячне затемнення починається з правого краю сонця. Через темний світлофільтр добре видно, як Місяць затуляє Сонце.

 Сонячне затемнення – дуже величне та красиве явище природи. Ніякої шкоди рослинам, тваринам та людині воно, звичайно, заподіяти не може.

Але не так думали люди в далекому минулому. Сонячне затемнення знайомо людству з древності. Але люди не знали чому воно виникає. Воно викликало у людей великий жах.